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等比数列前n

第十课时等比数列前n 项和的性质及应用 【知识与技能】掌握等比数列前n 项和公式的特征,在此基础上可初步应用公式解决与之有 关的难题. 【重点难点】 重点:等比数列前n 项和及性质的应用. 难点:等比数列前n 项和及性质的灵活应用. 【教学过程】 一、问题与研究 1。在等差数列{an}中,我们知道其前n 项和Sn 满足这种的性质买球平台,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n买球平台,也 成等差数列;等比数列的前n 项和Sn 是否也满足这一性质呢?试证明之. 等比数列前n 项和的性质 在等比数列{an}中,Sn,S2n-Sn,,成等比数列,其公比是 2.等比数列前n项和推导S 1-q(q1),是否可以写成S 的方式?若可以,A等于什么? 提示:可以,A=- a1 1-q 3.等比数列前n项和推导S 1-q(q1).是否可以写成S 形式?提示:可以,A=- a11-q 等比数列前n项和与指数函数的性质 当公比 项和公式是Sn a11-q 1-q,它可以变形为 Sn +A。由此可见,q1的等比数列 项和Sn是由关于n 的一个 与一个 的跟构成的,而指数式的系数与常数 二、合作与研究类别 等比数列前n项和的性质及应用 10=10,前20 20=30,求S 30 (2)一个等比数列的首项是1,项数是质数,其偶数项的跟为85,偶数项的跟为170,求此数列的公比和项数. 小结:1.解决本例有两种模式:用等比数列的前n项和公式直接求解,属通性通法;用性 质求解,方法灵活,技巧性强,有时使计算简便.2.等比数列前 项和的常用性质:(1)项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中买球平台,公比为q。

若共有2n 且q-1).(2)“片断和”性质:等比数列{an}中,公比为q,前m 项和为Sm(Sm0),则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,,Skm-S(k-1)m,构 成公比为q 的等比数列.【练习】设等比数列{an}的前n 项和为Sn,若 S6 S3 S9S6 由递推公式求通项公式【例2】根据以下各个数列{an}的首项和递推关系等比数列前n项和性质,求其通项公式: (1)a1=1,an+1=an+2n(nN an=2n+5,求数列{an}的通项公式.小结:1.形如 an+1=an+f(n)的递推式,可用叠加法求通项公式.2.形如 an+1=f(n)an 递推式,可用叠加法求通项公式。3。形如an+1=kan+b(k、b 为系数)的递推式,可变形为 )构造等比数列求解,其中λ可用待定系数法确定.4.由和式求通项公式, 可把跟式看做一个数列的前n 项和,然后按照an= 来求解.【练习】(1)已知数列{an}中,a1= ,求数列{an}的通项公式;(2)已知数列{an}中,a1=3,a2=5,且 Sn+Sn-2=2Sn-1+2 n-1 (n3),求数列{an} 的通项公式. 3】某企业进行技术改造,有两种方案:甲方案:一次性贷款10 万元,第一年便能获 万元,以后每年比前一年增加30%的收益;乙方案:每年借款1万元,第一年便可获利 万元,以后每年比前年多获利5千元,两种方案买球平台,使用年限都是十年,到期一次性归还本 息,若银行借贷利率按年息 10%的复利计算,比较两种方案,哪个获利更多?(计算数据精 确到万元,1。

1 10 2。594,1。3 10 13。786) 小结:1.解决本题的关键是分清甲、乙两个方案属于等差数列模型还是等比数列模型.2.等 差、等比数列的应用题常见于数量的增减、价格的升降、细胞分裂、贷款利率、增长率等方 面的难题,解决办法是创建数列模型,应用数列知识解决难题.3.将实际问题转换为数列 问题时要切记:分清是等差数列还是等比数列;分清是求 还是求Sn,特别是要具体 确定项数n;递推关系的看到是数列建模的关键.4.解数列应用题的策略技巧如图所示. 【练习】某市2012 年新建住房400 万平方米,其中有250 万平方米是中低价房,预计在今 后的若干年内买球平台,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%,另外,每年新建住房中,中 低价房的面积均比上一年增加50 万平方米,那么至那一年底, (1)该市历年所建中低价房的总计面积(以2012 年为累积的第一年)将首次不超过4 750 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比重首次多于85% 三、课时小结1.在等差数列与等比数列中,经常应按照条件列函数(组)求解,在解方程时,仔细体会两 种情形中解方程组的方式的不同之处.2.在解等比数列问题时,要切记合理应用等比数列 的性质,与等比数列前n 项和有关的常见的性质有:连续m 项和(如Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…) 仍构成等比数列(注意此连续m 项的跟需要非零才成立);{an}为等比数列等比数列前n项和性质等比数列前n项和性质,且q1Sn= -Aq +A(A0).用好性质会增加解题的运算量,从而降低出错.3.解决有关数列模型的实际问题时,关键是厘清题意,确定数列的类别及所求的基本量。

等比数列前n项和性质_已知数列an的前n项_已知数列{an}的前n项和为sn=n^2

四、小结与作业 1.(2013临沂高二检测)已知一个等比数列的前n 项和为48,前2n 项和为60,则前3n A.63B.108 C.75 D.83 2.已知等比数列{a n-1,则因而数列的偶数项所构成的新数列的前 -1B.3(3 n+1=3S +1C.4 3116 3116 5.(2013威海高二检测)在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该 数列的前15 项的跟S15=________。 6.数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,则an=________。 7.等比数列{an}共有 2n 项,它的全部各项的跟是奇数项的和的 8.(2013长沙高二检测)等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求S4。 9.(2013井冈山高二检测)已知点(1,2)是函数f(x)=a 项和Sn=f(n)-1。(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=logaan+1,求数列{anbn}的前n 项和Tn。 分享知识创造自我!

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